在物理光學中，我們使用麥克斯韋方程組處理電磁場。為了快速求解該方程組，我們將不同的麥克斯韋算子結合在一個非序列場追跡概念中。進一步的，快速物理光學概念的支柱是：

（1）盡可能在k域求解麥克斯韋方程組。

（2）根據處於哪一個場域，使用常規或幾何傅裏葉變換，選擇k域或空間域。

（3）通過所謂的雙向算子仿真光學組件的效應。

（4）幾何雙向算子的引入。這些概念的結合產生了一種物理光學理論，其具有快速建模算法，該算法固有地以定義明確、有說服力的方式應用了幾何和衍射模型。

1.場追蹤圖

一個光學系統的麥克斯韋方程組的解可以通過非序列場追跡算法得到[1]。這導緻所有通過系統中不同光路的模擬，都由一系列自由空間傳播步驟和與空間中非均勻區域，例如光學器件的互作用組成。從光源平面中的場開始，自由空間算子P規定了在下一個組件平面上的場，其中組件的響應由算子B給出。這些算子應用於x域或k域。一個光路的模型可以由所謂的場追蹤圖說明，圖1給出了相應的例子。

圖1 物理光學中一個光路的場追蹤圖模型。參數j指明了應用算子的場參考平面。 

盡管電磁場包含六個場分量，場追蹤算法仍然可以通過ρ=(x,y)，E┴(ρ,ω)=(Ex(ρ,ω), Ey(ρ,ω))正式地表示，缺失的四個分量可以根據E┴的需求計算。在k域中，這些計算遵循簡單的代數方程。

自由空間算子方程由 給出，輸入平面場為 ，輸出平面（輸入平面的下一個算子）的結果為 。如果輸入/輸出平面不平行，則傳播算子P通過衍射積分和附加的傾斜算子表示自由空間中的傳播[2]。盡管在空間域中，傳播被表示為有大量數值計算成本的衍射積分，但在k域中，對於平行平面和非平行平面的附加坐標變換，我們則有簡單的表達式（ ）

   (1)

通過選擇常規或幾何傅裏葉變換[3]，可以來回轉換k域和空間域，不同的衍射積分遵循空間域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、遠場和Debye積分。k域中自由空間傳播的簡單性是快速物理光學選擇k域的一個重要原因。另一個原因是可以從 快速代數計算 和 。下面將介紹場追蹤算法中的B算子。

2.雙向算子

空間域中我們有B算子 ，並且類似的在k域中有 。兩個域中的算子都有矩陣形式，例如k域為  

(2)

這個矩陣中每一個算子都代表一個積分運算符，例如k域中有如下積分形式（忽略ω）

 (3)

其中K²代表輸入組件的一系列k值， V為場分量的位置標識符， B表示公式2中一個矩陣元素的積分核函數。因為(kx,ky)代表k域中傳輸的平面波的方向，在K²的子集中核函數也可以被理解成方向角度的函數，說明了B是電磁場的雙向散射分配函數（BSDF）的概括，盡管BSDF僅僅闡述了場能量效應。

圖2 上圖展示了正弦表面光柵中的場，通過有限元方法（FEM）計算。此外，也使用了局部平面近似（LPIA）方法計算。在下圖中展示了兩種方法的結果，平面中結果場的振幅標為紅色。由Rui Shi提供。 

這必然被包含在了公式3中。因為BSDF的關系，我們選擇 作為雙向算子或者簡化B算子。總的來說，計算B(k,k')和它在公式3中積分計算的應用需要大量的數值計算而且很慢。但是，在分層介質情況下，我們可以得到簡化的形式，減少了乘積的積分，並且能夠快速計算k域中的算子[4]。如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應，空間域中算子B則變成簡單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過選擇合適的傅裏葉變化來模擬這個效應，這在圖1中通過第一個B算子解釋了。當然光學的主要任務是研究電磁場傳播通過兩種介質間的一般表面，例如透鏡模型。

3.幾何算子

一般表面對場的影響可以通過有限元法（FEM）來計算，但是對於大多數情況來說，數值計算成本太高。如果表面的結構不是很小，在大多數實際情況中通過所謂的局部平面近似（LPIA）方法計算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場的邊界條件利用分層介質的已知解進行局部計算。圖2比較了正弦表面光柵時FMM和LPIA的計算結果，結果顯示LPIA對該效應預測的很好，即使是表面上非常小的特征。事實上，我們發現LPIA是計算公式3中B(k,k')包括矢量效應（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡化特例。盡管LPIA可以計算雙向算子，我們仍然需要進行公式3中大量的數值積分計算。這導緻了LPIA和幾何傅裏葉變換的結合[3]。如果我們假設輸入場和輸出場在它們的幾何場域，它們遵循幾何傅裏葉變換理論

   (4)

公式3中的積分再一次簡化為簡單的乘積，其中包括了坐標變換k(k')。根據幾何傅裏葉變換理論，這個變換由輸入場的波陣面相位計算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個結果已經於VirtualLab Fusion中實現。如果場處於其幾何或衍射區域，則可以在任何平面進行數值測試。根據結果，應用了不同的傅裏葉變換，也以不同的方式應用了B算子。這造成了基於純數學論證的衍射和幾何模型自然而然地應用。建模始終完全基於物理光學並在數值效率方面進行了優化。

參考文獻

[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C. Hellmann, in vol. 66 of Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, pp. 257 (Springer Berlin Heidelberg, 2013)

[2] S. Zhang, D. Asoubar, C. Hellmann, and F. Wyrowski, Appl. Opt. 55(3), 529 (2016).

[3] F. Wyrowski and C. Hellmann, Proc. DGao, vol. 118, A37 (2017).

[4] S. Zhang, C. Hellmann, and F. Wyrowski, Appl. Opt. 56(15), 4566 (2017).

[5] A. Pfeil, F. Wyrowski, A. Drauschke, and H. Aagedal, Appl. Opt. 39(19), 3304(2000).

[6] Fast physical optics software “Wyrowski VirtualLab Fusion”, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH, Jena, Germany.