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激光物理基礎:方形反射鏡共焦腔中自再現模式的近似解

作者:東譜科技(廣州)有限責任公司 瀏覽: 發表時間:2018-11-12 09:00:00 來源:光電資訊

下面介紹正方形反射鏡情況下共焦腔中方程(2 .3 .18) 的近似解。

對於所涉及到的橢球函數,不做數學上的專門介紹。 在方形反射鏡情況下,方程( 2 .3 .18 )重表示為

(2 .3 .19)

u ( y )的方程與 u ( x )方程相同。令


其中為諧振腔的菲涅耳系數, 則方程式(2 .3 .18) 重表示為

(2 .3 .20)

在 c 為有限值的情況下, 上式的解為角向長橢球函數。當 x , yn a 時, 即在共焦腔反射鏡面中 心附近,角向長橢球函數可近似表示為厄米多項式與高斯函數的乘積, 即

(2 .3 .21)


式中, Cm , Cl 為常數; H m ( X) 、Hl ( Y )為厄米多項式, 相應本征值為


(2 .3 .22)

其中 R ( 1 ) 0 l ( c,1 )、R ( 1 ) 0 l ( c,1 )為徑向長橢球函數。可以看出, 在共焦腔中存在一系列自再現模 解,每個解有不同的場分布、不同的本征值 ( 不同的單程渡越相移和不同的衍射損耗 )。將 ( X, Y )換成( x , y ) ,第 m , l 階模式的場表達式為


(2 .3 .23)

該光束稱為厄米 -高斯光束。 最低階的厄米 -高斯光束 m = l = 0, 即基橫模高斯光束為

(2 .3 .24)

場分布為簡單的高斯函數分布,鏡中心場最強, 離開中心,場隨半徑增加按指數函數下降。令光斑半徑為

(2 .3 .25)

可將場表達式重新表示為

(2 .3 .26)

根據厄米多項式的解析表達式,不難給出最低幾階高階模的場表達式。 顯然,這些高階高斯模式會在空間的橫平面上形成如圖 1 -7 所示的強度花樣。

下面討論共焦腔的厄米 -高斯光束的附加相位。由於長橢球函數 R ( 1 ) 0 m ( c, 1 ) 、R ( 1 ) 0 l ( c, 1) 為實函數,單程相移為

(2 .3 .27)

可見鏡面為等相位面(δΦ與 x、y 無關)。單程相 移為幾何相移 - kL 和附加相移之 和。單程損耗因子為

分析表明,共焦腔的損耗僅決定於腔的菲涅耳系數( N = a 2 / Lλ)。同一階模式, 菲涅耳系數越大,損耗越低; 模的階次越高,損耗越高。代入徑向長橢球函數的具體值,得到的單程功率損耗隨 N 的變化如圖 2 -4 所示。

以上給出的是共焦腔鏡面上的場分布。利用基耳霍夫 -菲涅耳衍射積分公式, 可以求出空間任意點的場。選擇坐標點在腔的中心,場的表達式為

(2 .3 .29)

而任意位置( x , y , z) 處的相位 Φ( x , y, z)為

(2 .3 .31)

其中 z0 = L/ 2 ,而且

(2 .3 .32)

式(2 .3 .30) 表明在 z = 0 ,即腔的中心處, 光斑 w( z = 0) 為極小值。

為了確定等相位面,考慮等相位面與光軸相交的點( x = 0、y = 0、z = z1 )的相位

(2 .3 .33)

忽略因為 z 的微小變化引起的 Ψ 的變化,由等相位面方程 Φ( x , y, z) =Φ( 0, 0, z1 )得到


(2 .3 .34)

其中 ξ1 = z1/ z0。可見等相位面近似為拋物面, 拋物面頂點位於 z1 處,拋物面的焦距為

(2 .3 .35)

在光軸附近,即在 rn 2 F 的範圍內。可以證明, 拋物面近似為球面,球面的曲率半徑為

(2 .3 .36)

前已說明,共焦腔基模光束按雙曲線從腔中心向外擴散, 這也反映了光束在空間的發散。 定義雙曲線的兩條漸近線之間的夾角為光束發射全角 θ, 則

(2 .3 .37)

(2 .3 .38)


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